Giải bài 47 trang 133 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Vẽ ba đường trung tuyến của một tam giác (h.162). Chứng minh sáu tam giác: 1, 2, 3, 4, 5, 6 có diện tích bằng nhau.
Gợi ý:
\(S_1=S_2; S_3=S_4; S_4=S_5\)
Theo tính chất của trung tuyến, suy ra:
\(S_1 = S_2\) (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) \((1)\)
\(S_3 = S_4\) (có đáy bằng nhau và cùng chiều cao) \((2)\)
\(S_5 = S_6\) (có đáy bằng nhau và có cùng chiều cao) \((3)\)
Lại có: \(S_1 + S_2 + S_3 = S_4 + S_5 + S_6 \,\,\,\left(= \dfrac{1}{2}S_{ABC}\right) \,\,\, (4)\)
Kết hợp \((4)\) với \((1), \, (2), \, (3)\) suy ra \(S_1 = S_6 \,\,\, (*)\)
Và \(S_1 + S_2 + S_6 = S_3 + S_4 + S_5 \,\, \left(= \dfrac{1}{2}S_{ABC}\right) \,\,\, (5)\)
Kết hợp \((5)\) với \((1), \, (2),\,(3)\) suy ra \(S_2 = S_3 \,\, (**)\)
Và \(S_1 + S_6 + S_5 = S_2 + S_3 + S_4 \,\,\,\left(= \dfrac{1}{2}S_{ABC}\right) \,\,\, (6)\)
Kết hợp \((6)\) với \((1),\,(2),\,(3)\) suy ra \(S_4 = S_5 \,\,\, (***)\)
Từ \((*),\,(**),\,(***)\) và kết hợp với \((1),\,(2),\,(3)\) ta có:
\(S_1 = S_2 = S_3 = S_4 = S_5 = S_6\)
Hay 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
Nhận xét:
Ba đường trung tuyến trong tam giác giao nhau tại một điểm và chia tam giác thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.