Giải bài 71 trang 103 - SGK Toán lớp 8 tập 1

a) Tứ giác \(ADME\) có:

\(\widehat{DAE} = \widehat{ADE} = \widehat{AEM} = 90^o\) (giả thiết)

\( \Rightarrow ADME\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

\(O\) là trung điểm của đường chéo \(DE\) (giả thiết)

\( \Rightarrow O\) cũng là trung điểm của đường chéo \(AM\) (tính chất hình chữ nhật)

Vậy \(A,\, O,\, M\) thẳng hàng.

b) Kẻ \(AH \bot BC\)

Cách 1:

Vì \(O\) là trung điểm của \(AM\) nên \(HO\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AM\)

\(\Rightarrow OA = OH\)

\(\Rightarrow\) Điểm \(O\) di chuyển trên đường trung trực của \(AH.\)

Mặt khác vì \(M\) di chuyển trân đoạn \(BC.\) Vậy điểm \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(ABC.\)

Cách 2: Kẻ \(OK \bot BC. \)

Ta có: \(OA = OM\) (chứng minh trên)

\(OK // AH\) (vì cùng vuông góc với \(BC\))

\(\Rightarrow K\) là trung điểm của \(MH\)

Lại có: \(O\) là trung điểm của \(AM\)

\(\Rightarrow OK\) là đường trung bình của tam giác \(AMH\)

\(\Rightarrow OK = \dfrac{1}{2}AH\) (tính chất đường trung bình của tam giác)

Điểm \(O\) cách đoạn \(BC\) cố định một khoảng không đổi bằng \(\dfrac{1}{2}AH.\)

Mặt khác khi \(M\) trùng \(C\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AC,\) khi \(M\) trùng \(B\) thì \(O\) chính là trung điểm của \(AB\)

Vậy \(O\) di chuyển trên đoạn thẳng \(PQ\) là đường trung bình của \(ΔABC.\)

c) Ta có \(AH\) là đường cao hạ từ \(A\) đến \(BC\)

Do đó \(AM \geq AH\) (trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất)

Vậy \(AM\) nhỏ nhất khi \(M\) trùng với \(H.\)

Lưu ý: 

Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.