Giải bài 13 trang 72 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Chứng minh rằng: Trong một đường tròn, hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Hướng dẫn
- Kẻ đường kính đi qua điểm chính giữa của cung AB.
- Áp dụng định lý đường kính và dây cung
TH1: Hai dây cùng nằm trên một nửa đường tròn.
Giả sử AB // CD và \(CD > AB\). M là điểm chính giữa cung AB
Suy ra \(\overset\frown{MA}=\overset\frown{MB}\) (1)
Vì M là điểm chính giữa cung AB nên theo định lý về đường kính và dây cung \(OM\bot AB\)
Lại có AB // CD nên \(OM\bot CD\)
Suy ra M cũng là điểm chính giữa cung CD hay \(\overset\frown{MC}=\overset\frown{MD}\) (2)
Từ (1) và (2) ta có:
\(sđ\overset\frown{MC}-sđ\overset\frown{MA}=sđ\overset\frown{MD}-sđ\overset\frown{MB}\\ \Rightarrow sđ \overset\frown{AC}=sđ\overset\frown{BD}\)
Hay \(\overset\frown{AC}=\overset\frown{BD}\)
TH2: Hai dây nằm về hai phía với gốc tọa độ O.
Chứng minh tương tự trường hơp 1:
Ta có: M là điểm chính giữa cung AB nên \(\overset\frown{MA}=\overset\frown{MB}\)
\(MN\bot AB, AB//CD\Rightarrow MN\bot CD\)
Suy ra M cũng là điểm chính giữa cung CD.
Ta có:
\(sđ\overset\frown{MC}-sđ\overset\frown{MA}=sđ\overset\frown{MD}-sđ\overset\frown{MB}\\ \Rightarrow sđ \overset\frown{AC}=sđ\overset\frown{BD}\)
Hay \(\overset\frown{AC}=\overset\frown{BD}\)