Giải bài 41 trang 128 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho đường tròn \((O)\) có đường kính BC, dây AD vuông góc với BC tại H.
Gọi E, F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Gọi \((I), (K)\) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE, HCF.
a) Hãy xác định vị trí tương đối của các đường tròn: \((I)\) và \((O), (K)\) và \((O), (I)\) và \((K)\).
b) Tứ giác AEHF là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh đẳng thức \(AE.AB = AF.AC\)
d) Chứng minh rằng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
e) Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Gợi ý:
a) Xác định hệ thức liên hệ giữa đường nối tâm với bán kính các đường tròn, từ đó suy ra vị trí tương đối.
c) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông ΔAHB, ΔAHC
d) Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (I) và (K).
a) Ta có:
\(IO = OB - IB \Rightarrow (I)\) tiếp xúc trong với \((O)\).
\(OK = OC - KC \Rightarrow (K)\) tiếp xúc trong với \((O)\)
\(IK = OH + KH \Rightarrow (I)\) tiếp xúc ngoài với \((K)\)
b) Tứ giác AEHF có \(\widehat{A}=\widehat{E}=\widehat{F}={{90}^{o}}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Nên AEHF là hình chữ nhật.
c) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông ΔAHB, ta có:
\(AE.AB = AH^2\) (1)
Áp dụng hệ thức lượng trong vuông ΔAHC, ta có
\(AF.AC = AH^2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE.AB = AF.AC\)
d) Gọi G là giao điểm của AH và EF
Tứ giác AEHF là hình chữ nhật \(\Rightarrow AH = EF\)
Ta có \(GH=GF\Rightarrow ΔGFH\) cân tại G \(\Rightarrow \widehat{{{F}_{1}}}=\widehat{{{H}_{1}}}.\)
Tương tự, ΔKFH cân tại K \(\Rightarrow \widehat{{{F}_{2}}}=\widehat{{{H}_{2}}}\).
Suy ra \(\widehat{{{F}_{1}}}+\widehat{{{F}_{2}}}=\widehat{{{H}_{1}}}+\widehat{{{H}_{2}}}=\widehat{AHC}={{90}^{o}}\)
Do đó EF là tiếp tuyến của đường tròn (K)
Tương tự, EF là tiếp tuyến của đường tròn (I)
e) Ta có: \(EF = AH = \dfrac{AD}{2}.\)
Do đó EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.
Vậy khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.