Giải bài 42 trang 128 – SGK Toán lớp 9 tập 1
Cho hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) tiếp xúc ngoài tại A, BC là tiếp tuyến chung ngoài, \(B ∈ (O), C ∈ (O')\). Tiếp tuyến chung trong tại A cắt BC ở điểm M. Gọi E là giao điểm của OM và AB, F là giao điểm của O'M và AC. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật.
b) \(ME.MO = MF.MO'\)
c) OO' là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính là BC
d) BC là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính OO'
Phương pháp chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O):
Chứng minh vuông góc với bán kính của (O) tại tiếp điểm.
a) Ta có: \(\left\{ \begin{align} & MA=MB \\ & \widehat{BMO}=\widehat{AMO} \\ \end{align} \right.\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra ΔAMB cân tại M và MO là đường phân giác nên đồng thời là đường cao
\(\Rightarrow MO ⊥ AB\) hay \(\widehat{MEA}={{90}^{o}}\) (1)
Tương tự ta có MO' là tia phân giác của góc AMC và \(\widehat{MFA}={{90}^{o}}\) (2)
Lại có: \(\widehat{BMC}=\widehat{BMA}+\widehat{CMA}={{180}^{o}}\) (hai góc kề bù)
\(\Rightarrow \widehat{OMO'}=\widehat{OMA}+\widehat{O'MA}=\dfrac{\widehat{BMC}}{2}={{90}^{o}}\) (3)
Từ (1), (2) và (3) \(\Rightarrow\) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật
b) Áp dụng hệ thức lượng trong vuông \(ΔMAO\), ta có
\( ME.MO = MA^2 \)
Áp dụng hệ thức lượng trong vuông \(ΔMAO’\), ta có
\(MF.MO' = MA^2 \)
Suy ra \(ME.MO = MF.MO'\)
c) Ta có \(MA=MB=MC\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Suy ra A, B, C thuộc đường tròn đường kính BC.
Mà \(OO'\bot MA\)
Suy ra OO’ là tiếp tuyến của \((M;MB)\)
d) Gọi I là trung điểm của OO'
Suy ra \(IM=IO=IO’\) (tính chất trung tuyến trong tam giác vuông)
Suy ra I là tâm của đường tròn có đường kính
Ta có IM là đường trung bình của hình thang OBCO'
Suy ra \(IM // OB // O'C.\)
Do đó \(IM ⊥ BC\).
BC vuông góc với IM tại M nên BC là tiếp tuyến của đường tròn \((I)\).