Giải bài 41 trang 27 – SGK Toán lớp 9 tập 2
Giải các hệ phương trình
a) \(\left\{ \begin{align} & x\sqrt 5 -(1+\sqrt 3 )y=1 \\ & (1-\sqrt 3) x+y\sqrt 5=1 \\ \end{align} \right. \)
b) \(\left\{ \begin{align} & \dfrac{2x}{x+1}+\dfrac y {y+1}=\sqrt 2 \\ & \dfrac x {x+1}+\dfrac {3y}{y+1}=-1 \\ \end{align} \right. \)
Hướng dẫn:
a) Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
b) Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=u;\dfrac{y}{y+1}=v \)
a)
\(\left\{ \begin{aligned} & x\sqrt{5}-\left( 1+\sqrt{3} \right)y=1 \\ & \left( 1-\sqrt{3} \right)x+y\sqrt{5}=1 \\ \end{aligned} \right. \)
Từ phương trình 1 ta có:
\(x=\dfrac{1+\left( 1+\sqrt{3} \right)y}{\sqrt{5}} \)
Thay x trong phương trình 2 bởi \(x=\dfrac{1+\left( 1+\sqrt{3} \right)y}{\sqrt{5}}\) ta có:
\(\begin{aligned} & \left( 1-\sqrt{3} \right).\dfrac{1+\left( 1+\sqrt{3} \right)y}{\sqrt{5}}+y\sqrt{5}=1 \\ & \Leftrightarrow \left( 1-\sqrt{3} \right)+\left( 1-\sqrt{3} \right)\left( 1+\sqrt{3} \right)y+5y=\sqrt{5} \\ & \Leftrightarrow -2y+5y=\sqrt{5}+\sqrt{3}-1 \\ & \Leftrightarrow y=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3} \\ \end{aligned} \)
Do đó
\(x=\dfrac{\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3}\left( 1-\sqrt{3} \right)+1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3} \)
Vậy \( \left( \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+1}{3};\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}-1}{3} \right)\) là nghiệm của hệ.
b) ĐKXĐ: \(x\ne -1; y\ne -1\)
Đặt \(\dfrac{x}{x+1}=u;\dfrac{y}{y+1}=v \)
Ta có:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & 2u+v=\sqrt{2} \\ & u+3v=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & v=\sqrt{2}-2u \\ & u+3\left( \sqrt{2}-2u \right)=-1 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & v=\sqrt{2}-2u \\ & -5u=-1-3\sqrt{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & u=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ & v=\sqrt{2}-2.\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & u=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ & v=-\dfrac{2+\sqrt{2}}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Do vậy:
\(\begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & \dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{5} \\ & \dfrac{y}{y+1}=-\dfrac{2+\sqrt{2}}{5} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 5x=\left( x+1 \right)\left( 1+3\sqrt{2} \right) \\ & 5y=-\left( y+1 \right)\left( 2+\sqrt{2} \right) \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=\dfrac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}} \\ & y=-\dfrac{2+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}} \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy \(\left( \dfrac{1+3\sqrt{2}}{4-3\sqrt{2}};-\dfrac{2+\sqrt{2}}{7+\sqrt{2}} \right) \)