Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm - Đại số và Giải tích toán lớp 11
1. Đạo hàm tại một điểm
1.1. Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm
- Giới hạn hữu hạn (nếu có)
\(\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{s(t)-s(t_0)}{t-t_0}\)
được gọi là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\).
- Giới hạn hữu hạn (nếu có)
\(\lim\limits_{t \to t_0}=\frac{Q(t)-Q(t_0)}{t-t_0}\)
được gọi là cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_0\).
1.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Định nghĩa
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên khoảng \((a;b)\) và \(x_0\in (a;b)\)
Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)
\(\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_0\) và kí hiệu là \(f'(x_0)\) (hoặc \(y'(x_0)\)), tức là
\(f'(x_0)=\lim\limits_{x \to x_0}=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)
1.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa
Quy tắc
- Bước 1: giả sử \(\triangle x\) là số gia của đối số tại \(x_0\), tính
\(\triangle y=f(x_0+\triangle x)-f(x_0)\)
- Bước 2: Lập tỉ số \(\frac{\triangle y}{\triangle x}\)
- Bước 3: Tìm \(\lim\limits_{\triangle x \to 0 } \frac{\triangle y}{\triangle x}\)
1.4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số
Định lí 1
Nếu hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại điểm \(x_0\) thì nó liên tục tại điểm đó
Chú ý
a) Định lí trên tương đương với khẳng định:
Nếu hàm số \(y=f(x)\) gián đoạn tại \(x_0\) thì nó không có đạo hàm tại điểm đó.
b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng:
Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó.
1.5. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
Định lí 2
Đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(x_0\) là hệ số góc của tiếp tuyến \(M_0T\) của \((C)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\)
Định lí 3
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị \((C)\) của hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M_0(x_0;f(x_0))\) là
\(y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)\)
trong đó \(y_0=f(x_0)\)
1.6. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
a) Vận tốc tức thời
Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s=s(t)\), với \(s=s(t)\) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(s=s(t)\) tại \(t_0\)
\(v(t_0)=s'(t_0)\)
b) Cường độ tức thời
Nếu điện lượng \(Q\) truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian \(Q=Q(t)\) (\(Q=Q(t)\) là một hàm số có đạo hàm) thì cường độ tức thời của dòng điện tại thời điểm \(t_0\) là đạo hàm của hàm số \(Q=Q(t)\) tại \(t_0\)
\(I(t_0)=Q'(t_0)\)
2. Đạo hàm trên một khoảng
Định nghĩa
Hàm số \(y=f(x)\) được gọi là có đạo hàm trên khoảng \((a;b)\) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm \(x\) trên khoảng đó.
Khi đó, ta gọi hàm số : \(f': (a;b)\rightarrow R\)
\(x \rightarrow f'(x)\)
là đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) trên khoảng \((a;b)\), kí hiệu là \(y'\) hay \(f'(x)\).
+ Mở rộng xem đầy đủ