Giải bài 4 trang 37 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Phương pháp: 

Giải phương trình: \(a\sin ^2 u+b\sin u \cos u+c\cos^2 u=d\) 

Xét \( \cos u=0\) có thỏa phương trình không.

Khi \(\cos u\ne 0\): Chia hai vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}u\) ta đưa về dạng phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất) đối với \( \tan u.\)

a) \( 2\sin^2x+\sin x \cos x -3 cos^2x=0\)

Ta có: \(\cos x =0\) thì vế trái phương trình bằng \(2\) vế phải phương trình bằng \(0\).

Nên \(\cos x =0\) không thỏa mãn phương trình.

Với \(\cos x \ne0\), chia cả hai vế của phương trình có \(\cos^2x\), ta được:

\( \begin{aligned} & 2{{\tan }^{2}}x+\tan x-3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=1 \\ & \tan x=\dfrac{-3}{2} \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\arctan \left( \dfrac{-3}{2} \right)+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

b) \(3\sin^2x-4\sin x \cos x +5 \cos^2x=2\)

Ta có: \(\cos x =0\) thì vế trái phương trình bằng \(3\) vế phải phương trình bằng \(2\).

Nên \(\cos x =0\) không thỏa mãn phương trình.

Với \(\cos x \ne0\), chia cả hai vế của phương trình có \(\cos^2x\), ta được:

\(\begin{aligned} & 3{{\tan }^{2}}x-4\tan x+5=2(1+{{\tan }^{2}}x) \\ & \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-4\tan x+3=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=1 \\ & \tan x=3 \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\arctan 3+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

c)

 \(\sin^2x+\sin2x-2\cos^2x=\dfrac{1}{2}\\\Leftrightarrow 2\sin^2x+4\sin x\cos x-4\cos^2x=1\)

Ta có: \(\cos x =0\) thì vế trái phương trình bằng \(2\) vế phải phương trình bằng \(1\).

Nên \(\cos x =0\) không thỏa mãn phương trình.

Với \(\cos x \ne0\), chia cả hai vế của phương trình có \(\cos^2x\), ta được:

\(\begin{aligned} & 2{{\tan }^{2}}x+4\tan x-4=1+{{\tan }^{2}}x \\ & \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x+4\tan x-5=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=1 \\ & \tan x=-5 \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\arctan (-5)+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

d) 

\(\begin{aligned} & 2{{\cos }^{2}}x-6\sqrt{3}\sin x\cos x-4{{\sin }^{2}}x+4=0 \\ & \Leftrightarrow 6{{\cos }^{2}}x-6\sqrt{3}\sin x\cos x=0 \\ & \Leftrightarrow \cos x(\cos x-\sqrt{3}\sin x)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x=0 \\ & \cos x=\sqrt{3}\sin x \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & \tan x=\dfrac{\sqrt{3}}{3} \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & x=\dfrac{\pi }{6}+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)