Giải bài 6 trang 37 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

a) Đưa về phương trình bậc nhất với \(\sin\) và \(\cos\)

b) Đưa về phương trình ẩn \(\tan\)

a) \( \tan (2x+1)\tan(3x-1)=1\)

Điều kiện xác định: \(\cos (2x+1) \ne 0,\,\, \cos (3x-1) \ne 0\)$.$

\(\begin{aligned} & \tan (2x+1)\tan (3x-1)=1 \\ & \Rightarrow \sin (2x+1)\sin (3x-1)=\cos (2x+1)\cos (3x-1) \\ & \Leftrightarrow \cos (2x+1)\cos (3x-1)-\sin (2x+1)\sin (3x-1)=0 \\ & \Leftrightarrow \cos \left[ \left( 2x+1 \right)+\left( 3x-1 \right) \right]=0 \\ & \Leftrightarrow \cos 5x=0 \\ & \Leftrightarrow 5x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi \\ & \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{10}+\dfrac{k\pi }{5}\,\,(k\in \mathbb{Z}) \\ \end{aligned} \)

b) \(\tan x +\tan \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\)

Điều kiện xác định: \(\cos x\ne 0,\,\,\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)\ne 0\)

\(\begin{aligned} & \tan x+\tan \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)=1 \\ & \Leftrightarrow \tan x+\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}=1 \\ & \Rightarrow \tan x-{{\tan }^{2}}x+\tan x+1=1-\tan x \\ & \Leftrightarrow {{\tan }^{2}}x-3\tan x=0 \\ & \Leftrightarrow \tan x\left( \tan x-3 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=0 \\ & \tan x=3 \\ \end{aligned} \right.\\&\Rightarrow \left[ \begin{aligned} & x=k\pi \\ & x=\arctan 3+k\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)