Giải bài 82 trang 33 – SGK Toán lớp 8 tập 1
Chứng minh:
a) \(x^2 - 2xy + y^2 + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\)
b) \(x - x^2 - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\)
Hướng dẫn:
Biến đổi các biểu thức về dạng hằng đẳng thức bình phương của một hiệu hoặc bình phương của một tổng rồi áp dụng: \(A^2 \geq 0\) với mọi \(A\)
Bài giải
a) Ta có:
\(x^2 - 2xy + y^2 + 1\)
\(= (x^2 - 2xy + y^2) + 1\)
\(= (x - y)^2 + 1\)
Mà \((x - y)^2 \geq 0\) với mọi \(x, \, y\)
Suy ra \((x - y)^2 + 1 \geq 1 > 0\) với mọi \(x, \, y\)
Vậy \(x^2 - 2xy + y^2 + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\) (đpcm)
b) Ta có:
\(x - x^2 - 1 \)
\(= - (x^2 - x + 1) \)
\(= -[x^2 - 2.x.\dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{3}{4}]\)
\(= - [ \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 +\dfrac{3}{4} ]\)
\(= - \left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 -\dfrac{3}{4}\)
Mà \( -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 \leq 0\) với mọi \(x\)
\(\Rightarrow -\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{3}{4} \leq -\dfrac{3}{4} < 0\) với mọi \(x\)
Vậy \(x - x^2 - 1 < 0\) với mọi \(x\) (đpcm)