Giải bài 2 trang 77 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tính đạo hàm của các hàm số:
a) \(y=2x{{e}^{x}}+3\sin 2x;\)
b) \(y=5{{x}^{2}}-{{2}^{x}}\cos x;\)
c) \(y=\dfrac{x+1}{{{3}^{x}}}.\)
a) \(y=2x{{e}^{x}}+3\sin 2x;\)
\(y'=2\left( x \right)'.{{e}^{x}}+2x\left( {{e}^{x}} \right)'+3\left( \sin 2x \right)' \\ =2{{e}^{x}}+2x{{e}^{x}}+3\cos 2x.\left( 2x \right)' \\ =2{{e}^{x}}\left( 1+x \right)+6\cos 2x \\ \)
b) \(y=5{{x}^{2}}-{{2}^{x}}\cos x;\)
\( y'=5\left( {{x}^{2}} \right)'-\left( {{2}^{x}} \right)'\cos x-{{2}^{x}}\left( \cos x \right)' \\ =10x-{{2}^{x}}\ln 2.\cos x+{{2}^{x}}\sin x \\ =10x-{{2}^{x}}\left( \ln 2.\cos x-\sin x \right) \)
c) \(y=\dfrac{x+1}{{{3}^{x}}}.\)
\(y'=\dfrac{\left( x+1 \right)'{{3}^{x}}-\left( {{3}^{x}} \right)'\left( x+1 \right)}{{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}}\\=\dfrac{{{3}^{x}}-{{3}^{x}}\ln 3\left( x+1 \right)}{{{3}^{2x}}}\\=\dfrac{1-\ln 3\left( x+1 \right)}{{{3}^{x}}}\)
Ghi nhớ: Các công thức tính đạo hàm:
\(\left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}};\,\,\,\,\,\,\,\left( \sin u\left( x \right) \right)'=u'\left( x \right)cos\,u\left( x \right);\,\,\,\,\,\,\,\left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}.\ln a;\,\,\,\,\,\left( \cos x \right)'=-\sin x \).
Các quy tắc tính đạo hàm:
\(\begin{align} & \left( u.v \right)'=u'v+v'u;\,\,\,\,\,\,\,\left( \frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{{{v}^{2}}};\,\,\,\,\left( u\pm v \right)'=u'\pm v' \\ & \\ \end{align} \).