Giải bài 3 trang 39 – SGK môn Hình học lớp 12
Hướng dẫn: Cho hình nón có đường sinh \(l\), đường cao h và bán kính đáy r.
Diện tích xung quanh của hình nón là \(S=\pi rl\).
Thể tích khối nón là \(V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h\).
a) Giả sử \(SA=l\) là độ dài đường sinh, \(SH=h\) là chiều cao của hình nón.
Trong tam giác SOA có
\(SA=\sqrt{S{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{20}^{2}}+{{25}^{2}}}=\sqrt{1025} \) (cm)
Diện tích xung quanh hình nón là
\({{S}_{xq}}=\pi rl=\pi .25.\sqrt{1025}\approx 2514,5\,\left( c{{m}^{2}} \right)\)
b) Thể tích khối nón là
\(V=\dfrac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\dfrac{1}{3}\pi {{.25}^{2}}.20\approx 13083,3\,\left( c{{m}^{3}} \right)\)
c) Giả sử thiết diện SAB đi qua S và cắt đường tròn đáy tại A và B.
Gọi I là trung điểm của AB, kẻ OH vuông góc với SI.
Ta có \(\left\{ \begin{align} & AB\bot OI \\ & AB\bot SO \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SOI \right)\Rightarrow AB\bot OH \)
Suy ra \(\left\{ \begin{align} & OH\bot AB \\ & OH\bot SI \\ \end{align} \right.\Rightarrow OH\bot \left( SAB \right)\Rightarrow OH=12cm \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOI có
\(\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{I}^{2}}}+\dfrac{1}{O{{S}^{2}}} \\ \Rightarrow \dfrac{1}{O{{I}^{2}}}=\dfrac{1}{O{{H}^{2}}}-\dfrac{1}{O{{S}^{2}}}=\dfrac{1}{{{12}^{2}}}-\dfrac{1}{{{20}^{2}}}=\dfrac{1}{225} \\ \Rightarrow OI=15\,\left( cm \right) \)
Trong tam giác vuông AOI có
\(AI=\sqrt{O{{A}^{2}}-O{{I}^{2}}}=\sqrt{{{25}^{2}}-{{15}^{2}}}=20\,\left( cm \right) \)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SOI có
\(SI.OH=SO.OI\Rightarrow SI=\dfrac{SO.OI}{OH}=\dfrac{20.15}{12}=25\,\left( cm \right)\)
Diện tích thiết diện là
\({{S}_{SAB}}=\dfrac{1}{2}SI.AB=25.20=500\,\left( c{{m}^{2}} \right)\)