Giải bài 2 trang 92 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Cho dãy số (\(u_n\)), biết:
\(u_1=-1, u_{n+1}=u_n+3\) với \(n\ge 1\)
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Chứng minh bằng quy nạp: \(u_n=3n-4\)
Hướng dẫn:
Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)
Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
a) \(u_1=-1, u_{n+1}=u_n+3\) với \(n\ge 1\)
Ta có:
\(\begin{align} & {{u}_{1}}=-1;\,\,\,{{u}_{2}}={{u}_{1}}+3=-1+3=2 \\ &{{u}_{3}}={{u}_{2}}+3=2+3=5 \\ &{{u}_{4}}={{u}_{3}}+3=5+3=8 \\ &{{u}_{5}}={{u}_{4}}+3=8+3=11 \\ \end{align} \)
b) Với \(n=1\) ta có: \(u_1=3.1-4=-1 \)(đúng)
Giả sử: \(u_k=3.k-4.\)
Ta chứng minh: \(u_{k+1}=3(k+1)-4\)
Thật vậy ta có: \(u_{k+1}=u_k+3=3k-4+3=3(k+1)-4\)
Vậy đẳng thức đúng với \(n=k+1\) nên đẳng thức đúng với mọi \(n\ge 1\)