Giải bài 3 trang 92 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Dãy số \((u_n)\) cho bởi:
\(u_1=3;\,\,u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},\,\,\,n\ge 1\)
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát \(u_n\) và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp.
Hướng dẫn:
Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)
Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
a) Ta có: \(u_1=3;\,\,u_{n+1}=\sqrt{1+u_n^2},\,\,\,n\ge 1\)
\(\begin{align} & \Rightarrow {{u}_{2}}=\sqrt{1+{{3}^{2}}}=\sqrt{10};\,\,\,\,\,{{u}_{3}}=\sqrt{1+10}=\sqrt{11} \\ & \,\,\,\,\,\,{{u}_{4}}=\sqrt{1+11}=\sqrt{12};\,\,\,\,\,{{u}_{5}}=\sqrt{1+12}=\sqrt{13} \\ \end{align} \)
b) Ta có:
\(\begin{align} & {{u}_{1}}=3=\sqrt{9}=\sqrt{1+8} \\ & {{u}_{2}}=\sqrt{10}=\sqrt{2+8} \\ & {{u}_{3}}=\sqrt{11}=\sqrt{3+8} \\ & {{u}_{4}}=\sqrt{12}=\sqrt{4+8} \\ & {{u}_{5}}=\sqrt{13}=\sqrt{5+8} \\ & .... \\ & {{u}_{n}}=\sqrt{n+8}\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align} \)
Chứng minh:
Với \(n=1\) dễ thấy (1) đúng.
Giả sử (1) đúng với \(n=k\), tức là \(u_k=\sqrt{k+8}\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1.\)
Ta có: \(u_{k+1}=\sqrt{1+u_k^2}=\sqrt{1+k+8}=\sqrt{(k+1)+8}\)
Vậy (1) cũng đúng với \(n=k+1\) nên (1) đúng với mọi \(n\ge 1\).
Do đó công thức tổng quát của dãy số là: \(u_n=\sqrt{n+8}\)