Giải bài 5 trang 92 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Trong các dãy số (\(u_n\)) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
a) \(u_n=2n^2-1\); c) \(u_n=\dfrac{1}{2n^2-1}\); | b) \(u_n=\dfrac{1}{n(n+2)}\) ; d) \(u_n=\sin n+\cos n\). |
Nhắc lại:
Dãy số (\(u_n\)) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho \(u_n\le M , \,\forall n\in \mathbb N^*\)
Dãy số (\(u_n\) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho \(u_n\ge m , \,\forall n\in \mathbb N^*\)
Dãy số (\(u_n\)) được gọi là bị chặn vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới.
a) Vì \(u_n=2n^2-1\ge 1\,\,\forall n\in\mathbb N^*\)
Nên dãy (\(u_n\)) bị chặn dưới và không bị chặn trên vì khi n lớn vô cùng thì \(2n^2-1\) cũng lớn vô cùng.
b) Ta có: \(u_n > 0\) với mọi \(n \in \mathbb N^*\)
Vì \(n(n+2)\ge 3\) nên \(u_n =\dfrac{1}{n(n+2)}\le \dfrac{1}{3}\) với mọi \(n \in \mathbb N^*\)
Vậy dãy số (\(u_n\)) bị chặn vì \(0 < u_n \le \dfrac{1}{3} \) với mọi \( n \in \mathbb N^*\)
c) Với \(n\ge 1\) thì \(2n^2-1>0 \Rightarrow u_n=\dfrac{1}{2n^2-1} > 0, \,\, \forall n\in\mathbb N^*\)
Vì \(2n^2-1\ge 1,\) nên \(u_n=\dfrac{1}{2n^2-1}\le 1\,\, \forall n\in\mathbb N^*\)
Vậy \(0< u_n \le 1, \,\, \forall n\in\mathbb N^*\) nên (\(u_n\)) bị chặn
d) Ta có: \(|u_n|=|\sqrt{2}\sin\left(n+\dfrac{\pi}{4}\right)|\le \sqrt{2}\,\,\,\,\forall n\in\mathbb N^*\)
\(\Rightarrow -\sqrt{2} \le u_n\le \sqrt{2}, \,\,\,\forall n\in\mathbb N^*\Rightarrow (u_n)\) bị chặn.