Giải bài 11 trang 114 – SGK môn Hình học lớp 11

Hướng dẫn:

a) Chứng minh \(BD\bot (SAC)\)

b) Chứng minh hai tam giác AIK và ACS đồng dạng.

c) Chứng minh \(SA\bot (DKB)\)

a)

Vì ABCD là hình thoi nên \(BD\bot AC \)

Lại có: \(SC\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SC\bot BD \)

Suy ra: \(BD\bot \left( SCA \right)\Rightarrow \left( SBD \right)\bot \left( SAC \right) \)

b) 

Xét hai tam giác AIK và ACS có:

\(\left\{ \begin{aligned} & \widehat{A}\,\,\text{chung} \\ & \widehat{AKI}=\widehat{ACS}={{90}^{o}} \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow \Delta AKI\sim \Delta ACS (g.g)\)

Suy ra \(\dfrac{IK}{SC}=\dfrac{AI}{AS}\Rightarrow IK=\dfrac{SC.AI}{AS}\) (cặp cạnh tương ứng)

Mà \(ABCD\) là hình thoi cạnh a có góc A bằng \(60^o\) nên góc B bằng \(120^o.\)

Xét tam giác ABC có \(\widehat{B}={{120}^{o}};\,BC=BA=a \)

\(\begin{aligned} & \Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}+B{{A}^{2}}-2BA.BC.cos{{120}^{o}}} \\ & =\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}-2.{{a}^{2}}.\dfrac{-1}{2}}=a\sqrt{3} \\ & \Rightarrow IA=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \\ \end{aligned} \)

Xét tam giác SCA vuông tại C.

\(SA=\sqrt{S{{C}^{2}}+A{{C}^{2}}}=\sqrt{\dfrac{{{a}^{2}}.6}{4}+3{{a}^{2}}}=\dfrac{3\sqrt{2}a}{2} \)

Vậy \(IK=\dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{3a\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{a}{2}\) 

c) Ta có: \(IK=IB=ID=\dfrac{a}{2} \)

Nên tam giác BDK vuông tại K hay \( \widehat{DKB}={{90}^{o}} \)

Ta có:

 \( \begin{aligned} & \left\{ \begin{aligned} & SA\bot DB\,\,\left( \text{vì}\,\,DB\bot \left( SAC \right) \right) \\ & SA\bot IK \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow SA\bot \left( DKB \right) \\ & \Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & SA\bot DK \\ & SA\bot BK \\ \end{aligned} \right. \\ \end{aligned} \)
Vậy góc DKB là góc giữa hai mặt phẳng \((SAB)\) và \((SAD)\)  và \(\widehat{DKB}={{90}^{o}} \)

nên ta suy ra \(\left( SAB \right)\bot \left( SAD \right) \)