Trả lời câu 10 trang 120 – SGK môn Hình học lớp 11
Chứng minh rằng tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của một tam giác \(ABC\) là đường vuông góc với mặt phẳng (\(ABC\)) và đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Lấy một điểm M bất kì trong không gian sao cho \(MA = MB = MC\). Từ \(M\) kẻ \(MO\) vuông góc với mp\((ABC)\).
Các tam giác vuông \(MOA, MOB, MOC\) bằng nhau, cho ta \(OA = OB = OC.\)
Suy ra \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).
Vậy các điểm M cách đều ba đỉnh của tam giác \(ABC\) nằm trên đường thẳng \(d\) đi qua tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\) và vuông góc với mp\((ABC)\).
Ngược lại, gọi \(d\) là đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với (\(ABC\))
Lấy một điểm \(M' ∈ d,\) nối \(M'A, M'B, M'C\).
Do \(M'O\) chung và \(OA = OB = OC\) nên các tam giác vuông \(M'OA, M'OB, M'OC\) bằng nhau, cho ta \(M'A = M'B = M'C.\)
Tức là điểm \(M'\) cách đều ba đỉnh \(A, B, C\) của tam giác \(ABC\).
Kết luận: Tập hợp các điểm cách đều ba đỉnh của tam giác \(ABC\) là đường thẳng vuông góc với mp(\(ABC\)) và đi qua tâm của đường tròn ngoại tam giác \(ABC\).