Giải bài 1 trang 121 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một khoảng thời gian \(T = 24000\) năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (\(T\) được gọi chu kỳ bán rã).
Gọi \(u_n\) là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n.
a. Tìm số hạng tổng quát \(u_n\) của dãy số (\(u_n\))
b. Chứng minh rằng (\(u_n\)) có giới hạn là 0.
c. Từ kết quả câu b, chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với khỏe con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn \(10^{-6}\) g.
Hướng dẫn
a) Tính khối lượng của chất phóng xạ sau mỗi kì bán rã, rồi rút ra khối lượng chất phóng xạ ở chu kì bán rã thứ n.
a) Sau chu kì bán rã thứ nhất, khối lượng chất phóng xạ là: \(u_1=\dfrac{1}{2}\)kg
Sau chu kì bán rã thứ hai, khối lượng chất phóng xạ là: \(u_2=\dfrac{1}{4}\)kg
Sau chu kì bán rã thứ ba, khối lượng chất phóng xạ là: \(u_3=\dfrac{1}{8}\) kg
...
Sau chu kì bán rã thứ \(n\), khối lượng chất phóng xạ là: \(u_n=\dfrac{1}{2^n}\)kg
b) \(\lim \dfrac{1}{2^n}=\lim\left(\dfrac{1}{2}\right)^n=0\)
c) Ta có: \(10^{-6}g=10^{-9}kg=\dfrac{1}{10^9}kg\)
Vì \(u_n\to 0\) nên \(|u_n|=\dfrac{1}{2^n}\)có thể nhỏ hơn một số dương bất kì kể từ số hạng nào đó trở đi.
Như vậy, \(|u_n|\) nhỏ hơn \(\dfrac{1}{10^9}\) kể từ chu kì \(n_0\) nào đó. Nghĩa là sau một số năm với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại với con người.
Thật vậy, ta chọn \(n_0\) sao cho \(\dfrac{1}{2^{n_0}}<\dfrac{1}{10^{9}}\Rightarrow 2^{n_0}>10^9\).
Lấy \(n_0=36\Rightarrow 2^{n_0}=2^{36}=(2^4)^9=16^9>10^9\)(thỏa mãn)