Giải bài 1 trang 145 – SGK môn Giải tích lớp 12
Cho hàm số
\(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+a+2\) \((a\ne 0).\)
a) Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x)=0\) luôn có nghiệm thực. Tính các nghiệm đó.
b) Tính tổng S và tích P của các nghiệm của phương trình \(f(x)=0\). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của S và P theo a.
a) \(f\left( x \right)=a{{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+a+2\)
\(f\left( x \right)=0\Leftrightarrow a{{x}^{2}}-2\left( a+1 \right)x+a+2=0 \\ \Delta '={{\left( a+1 \right)}^{2}}-a\left( a+2 \right)=1>0 \)
Vậy phương trình \(f(x)=0\) luôn có nghiệm thực.
Áp dụng định lí Vi - ét ta có:
\(S=\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a};\,P=\dfrac{a+2}{a}\).
b) Xét \(S=\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(S'\left( a \right)=-\dfrac{2}{{{a}^{2}}}<0,\,\forall a\ne 0\)
Hàm số nghịch biến trên \((-\infty;\,0)\) và \((0;\,+\infty)\).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
\(\lim\limits_{a\to \pm \infty }\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=2\) nên đường \(S=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\lim\limits_{a\to {{0}^{+}}}\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=+\infty ;\,\lim\limits_{a\to {{0}^{-}}}\,\dfrac{2\left( a+1 \right)}{a}=-\infty\) nên đường \(a=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
Xét \(P=\dfrac{a+2}{a} \)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(P'\left( a \right)=-\dfrac{2}{{{a}^{2}}}<0,\,\forall a\ne 0\)
Hàm số nghịch biến trên \((-\infty;\,0)\) và \((0;\,+\infty)\).
Hàm số không có cực trị.
+) Tiệm cận
\(\lim\limits_{a\to \pm \infty }\,\dfrac{a+2 }{a}=1\) nên đường \(P=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
\(\lim\limits_{a\to {{0}^{+}}}\,\dfrac{a+2}{a}=+\infty ;\,\lim\limits_{a\to {{0}^{-}}}\,\dfrac{a+2}{a}=-\infty\) nên đường \(a=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
Nhận xét:
Phương trình bậc hai một ẩn luôn có nghiệm thực khi\(\Delta > 0 \,\,(\Delta ' > 0)\)