Giải bài 7 trang 146 – SGK môn Giải tích lớp 12

Hướng dẫn:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \(M(x_0;y_0)\) có dạng: \(y=f'(x_0)(x-x_0)+y_0\)

a) \(y=\dfrac{2}{2-x} \)

* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

* Sự biến thiên

+) Chiều biến thiên

\(y'=\dfrac{2}{{{\left( 2-x \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\ne 2\)

Hàm số đồng biến trên \((-\infty;\,2)\) và \((2;\,+\infty)\).

Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

\(\lim\limits_{x\to \pm \infty }\,\dfrac{2}{2-x}=0 \) nên đường \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

\(\lim\limits_{x\to {{2}^{+}}}\,\dfrac{2}{2-x}=-\infty ;\,\lim\limits_{x\to {{2}^{-}}}\,\dfrac{2}{2-x}=+\infty\) nên đường \(x=2\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

+) Bảng biến thiên

* Đồ thị

b) Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình

\(\,\,\,\,\,\dfrac{2}{2-x}={{x}^{2}}+1 \\ \Rightarrow {{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x=0 \\ \Leftrightarrow x{{\left( x-1 \right)}^{2}}=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right. \)

Với \(x=0\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y\left( 0 \right)=1 \\ & y'\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2} \\ \end{align} \right. \)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x=0\) là \(y=\dfrac{1}{2}x+1\).

Với \(x=1\Rightarrow \left\{ \begin{align} & y\left( 1 \right)=2 \\ & y'\left( 1 \right)=2 \\ \end{align} \right. \)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(x=1\) là \(y=2\left( x-1 \right)+2=2x\).

c) Thể tích vật thể tròn xoay cần tìm là

\(\begin{aligned} V&=\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\left( \dfrac{2}{2-x} \right)}^{2}}dx} \\ & =\pi \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{4}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}dx} \\ & =\pi \left( -\dfrac{4}{x-2} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\ \\ 0 \\ \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\ \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\pi \left( 4-2 \right) \\ & =2\pi \,\left( \text{đvtt} \right) \\ \end{aligned} \)