Giải bài 4 trang 105 – SGK môn Đại số lớp 10
Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm
\(a)\,(m-2)x^2+2(2m-3)x+5m-6=0\)
\(b) \,(3-m)x^2-2(m+3)+m+2=0\)
Hướng dẫn: Xét hai trường hợp:
+) Hệ số \(a=0\), phương trình đưa về phương trình bậc nhất một ẩn
+) Hệ số \(a\ne 0\), phương trình đưa về phương trình bậc hai một ẩn, vô nghiệm khi \(\Delta <0\)
a)
Đặt \(f(x) = (m - 2)x^2 + 2(2m - 3)x + 5m - 6\)
TH1: Nếu \(m - 2 = 0 ⇔ m = 2\) khi đó ta có phương trình:
\(2x + 4 = 0 ⇔ x = -2\) hay phương trình có một nghiệm
Do đó \(m = 2\) không thỏa mãn.
TH2: Nếu \(m - 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2\) ta có:
\(Δ' = (2m - 3)^2 - (m - 2)(5m - 6)\\ = 4m^2 - 12m + 9 - 5m^2 + 6m + 10m - 12\\ = -m^2 + 4m - 3 = (-m + 3)(m - 1)\)
Phương trình \(f(x) = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(Δ' < 0\)
\(⇔ (-m + 3)(m - 1) < 0 ⇔ m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)\)
Vậy với \(m ∈ (-∞; 1) ∪ (3; +∞)\) thì phương trình vô nghiệm.
b) Đặt \(f(x) = (3 - m)x^2 - 2(m + 3)x + m + 2\)
TH1: Nếu \(3 - m = 0 ⇔ m = 3\) khi đó phương trình \(f(x) = 0\) trở thành:
\(-6x + 5 = 0 ⇔ x = \dfrac 5 6\) là nghiệm của phương trình.
Do đó \(m = 3\) không thỏa mãn
TH2: Nếu \(3 - m ≠ 0 ⇔ m ≠ 3\) ta có:
\(Δ' = (m + 3)^2 - (3 - m)(m + 2)\\ = m^2 + 6m + 9 - 3m - 6 + m^2 + 2m\\ = 2m^2 + 5m + 3 = (m+1)(2m+3)\)
Phương trình \(f(x) = 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi \(Δ' < 0\)
\(⇔ (m+1)(2m+3) < 0 ⇔ m\in \left(-\dfrac3 2;-1\right)\)
Vậy với \(m\in \left(-\dfrac3 2;-1\right)\) thì phương trình vô nghiệm.