Giải bài 1 trang 54 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

a) Mỗi số có \(6\) chữ số khác nhau được lập từ \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) là một hoán vị của \(6\) số.
Vậy có \( 6!=720\) số.

b)

Cách 1: Trong 6 số \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) có \(3\) số chẵn và \(3\) số lẻ nên số chẵn và số lẻ được lập từ các số \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) là như nhau.
Nên có \(\dfrac{6!}{2}=360\) số chẵn và \(360\) số lẻ.

Cách 2: Gọi số có \(6\) chữ số có dạng: \(\overline{abcdef}\)

Với \(f \in\{ 2, 4, 6\}\) có \(3\) cách chọn \(f\)

\(a, b, c, d, e \ne f\) nên có  \(5!\) cách chọn.

Vậy số cách chọn: \(5!.3 = 360\) (số chẵn )

Tương tự ta cũng có: \(360\) số  lẻ.

c)

Giả sử số cần tìm có dạng \(\overline{abcdef}\)

Trường hợp 1: \( a<4\): \(a\) có \(3\) cách chọn \(a\in\{1;2;3\}\)

\(\overline{bcdef}\) có \(5!=120 \) cách chọn là số hoán vị của \(5\)  trong \(6\)phần tử \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) trừ số \(a\).

Vậy theo quy tắc nhân trường hợp này có \(3.120=360\) số.

Trường hợp 2: \(a=4, b< 3\)

\(b\) có \(2\) cách chọn: \(b∈\{1;2\}\)

\(\overline{cdef}\) có \(4!=24\) cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có \(2.24=48\) số.

Trường hợp 3: \(a=4, b=3, c=1\)

Số \(\overline{def}\) có \(3!=6\) cách chọn.

Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu là: \(360+48+6=414\) số.

Ghi nhớ:

Định nghĩa hoán vị:

Cho tập hợp A gồm n phần tử (\(n\ge 1\)).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoàn vị của n phần tử đó.

Số hoán vị của n phần tử là: \(P_n=n(n-1)(n-2)...2.1=n!\)