Giải bài 5 trang 88 – SGK Hình học lớp 10
Cho hai đường tròn \({{C}_{1}}({{F}_{1}};{{R}_{1}}) \) và \({{C}_{2}}({{F}_{2}};{{R}_{2}}). {{C}_{1}}\) nằm trong \({{C}_{2}}\) và \({{F}_{1}}\ne {{F}_{2}}\). Đường tròn (C) thay đổi luôn tiếp xúc ngoài với \({{C}_{1}}\) và tiếp xúc trong với \({{C}_{2}}\).Hãy chứng tỏ rằng tâm M của đường tròn (C) di động trên một elip.
Gợi ý: Để chứng minh tập hợp các điểm M là một elip ta chứng minh \(F_1M+F_2M=2a\) không đổi.
Gọi R là bán kính của đường tròn (C)
(C) và \((C_1)\) tiếp xúc ngoài với nhau, cho ta:
\(M{{F}_{1}}={{R}_{1}}+R\,\left( 1 \right)\)
(C) và \((C_2)\) tiếp xúc trong với nhau, cho ta:
\(M{{F}_{2}}={{R}_{2}}-R\,\left( 2 \right) \)
Từ (1) và (2) ta được
\(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}={{R}_{1}}+{{R}_{2}}\) không đổi.
Điểm M có tổng các khoảng cách \(M{{F}_{1}}+M{{F}_{2}}\) đến hai điểm cố định \(F_1\) và \(F_2\) bằng một độ dài không đổi \(R_1+R_2\).
Vậy tập hợp điểm M là đường elip, có các tiêu điểm \(F_1\) và \(F_2\) và có tiêu cự \(F_1F_2=R_1+R_2.\)
Ghi nhớ:
Cho hai điểm cố định \(F_1\) , \(F_2\) và một độ dài không đổi 2a lớn hơn \(F_1F_2\).
Elip là tập hợp các điểm M trong mặt phẳng sao cho \(F_1M+F_2M=2a\).
