Giải bài 1 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao
Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0:
\(\begin{aligned} & a)\,\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n+5} \\ & b)\,\dfrac{\sin n}{n+5} \\ & c)\dfrac{\cos 2n}{\sqrt{n}+1} \\ \end{aligned} \)
Hướng dẫn:
Áp dụng định lý 1:
Cho hai dãy số (\(u_n\)) và (\(v_n\))
Nếu \(\left| {{u}_{n}} \right|\le {{v}_{n}}\) với mọi \(n\) và \( \lim {{v}_{n}}=0\) thì \(\lim {{u}_{n}}=0\)
a)
Ta có:
\(\left| \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n+5} \right|=\dfrac{1}{n+5}<\dfrac{1}{n} \)
Mà \(\lim \dfrac{1}{n}=0\) nên \(\lim \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n+5}=0\) (Theo định lý 1)
b)
Ta có:
\(\left| \dfrac{\sin n}{n+5} \right|\le \dfrac{1}{n+5}<\dfrac{1}{n} \)
Mà \(\lim \dfrac{1}{n}=0 \) nên \(\lim \dfrac{\sin n}{n+5}=0\) (Theo định lý 1)
c)
\(\left| \dfrac{\cos 2n}{\sqrt{n}+1} \right|\le \dfrac{1}{\sqrt{n}+1}<\dfrac{1}{\sqrt{n}} \)
Mà \(\lim \dfrac{1}{\sqrt{n}}=0\) nên \(\lim \dfrac{\cos 2n}{\sqrt{n}+1}=0\) (Theo định lý 1)