Giải bài 3 trang 130 - SGK Đại số và Giải tích lớp 11 nâng cao
Chứng minh rằng các dãy số (\(u_n\)) sau đây có giới hạn 0:
\(\begin{aligned} & a){{u}_{n}}={{\left( 0,99 \right)}^{n}} \\ & b){{u}_{n}}=\dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{2}^{n}}+1} \\ & c)\,{{u}_{n}}=\dfrac{\sin \dfrac{n\pi }{5}}{{{\left( 1,01 \right)}^{n}}} \\ \end{aligned} \)
Hướng dẫn:
Áp dụng định lý 2:
Nếu \(|q|<1\) thì \(\lim {{q}^{n}}=0 \)
a)
Ta có: \(\left| 0,99 \right|<1\Rightarrow \lim {{\left( 0,99 \right)}^{n}}=0 \)
b)
\(\left| {{u}_{n}} \right|=\left| \dfrac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{{{2}^{n}}+1} \right|=\dfrac{1}{{{2}^{n}}+1}<\dfrac{1}{{{2}^{n}}}={{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n}} \)
Vì \( \dfrac{1}{2}<1 \) nên \(\lim {{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^{n}}=0\Rightarrow \lim {{v}_{n}}=0 \)
c)
\(\left| {{u}_{n}} \right|=\left| \dfrac{\sin \dfrac{n\pi }{5}}{{{\left( 1,01 \right)}^{n}}} \right|\le \dfrac{1}{{{\left( 1,01 \right)}^{n}}}={{\left( \dfrac{1}{1,01} \right)}^{n}} \)
Vì \( \dfrac{1}{1,01}<1\Rightarrow \lim {{\left( \dfrac{1}{1,01} \right)}^{n}}=0\Rightarrow \lim {{u}_{n}}=0 \)