Giải bài 1 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Chứng minh rằng với \(n\in \mathbb N^*\),  ta có các đẳng thức:

a) \(2+5+8+...+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2}\);

b) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\);

c) \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

Lời giải:
Hướng dẫn:
Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)
Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học:
a) \(2+5+8+...+(3n-1)=\dfrac{n(3n+1)}{2}\)     (1)
Với \(n=1\), ta có: \(2=\dfrac{1.4}{2}\) (đúng).
Vậy (1) đúng với \(n=1\).
Giả sử (1) đúng với \(n=k\), tức là ta có:
\(2+5+8+...+(3k-1)=\dfrac{k(3k+1)}{2}\)
Ta phải chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\), tức là phải chứng minh:
\(2+5+8+...+(3k-1)+(3k+2)=\dfrac{(k+1)(3k+4)}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(2+5+8+...+(3k-1)+(3k+2)=\dfrac{k(3k+1)}{2}+(3k+2)\\=\dfrac{3k^2+k+6k+4}{2}=\dfrac{3k^2+7k+4}{2}=\dfrac{(k+1)(3k+4)}{2}\)
Vậy (1) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (1) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
b) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^n}\)(2)
Với \(n=1\), ta có: \(\dfrac{1}{2}=\dfrac{2-1}{2}\) (đúng) . Vậy (2) đúng với \(n=1\).
Giả sử (2) đúng với \(n=k\), tức là ta có:
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^k}=\dfrac{2^k-1}{2^k}\)
Ta chứng minh (2) đúng với \(n=k+1\) tức là phải chứng minh:
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)
Thật vậy, ta có:
\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...+\dfrac{1}{2^{k+1}}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+...\dfrac{1}{2^k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^k-1}{2^k}+\dfrac{1}{2^{k+1}}\\ =\dfrac{2^{k+1}-2+1}{2^{k+1}}=\dfrac{2^{k+1}-1}{2^{k+1}}\)
Vậy (2) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (2) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
c) \(1^2+2^2+3^2+...+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)(3)
Với \(n=1\) ta có: \(1^2=\dfrac{1.2.3}{6}\) (đúng). Vậy (3) đúng với \(n=1\).
Giả sử (3) đúng với \( n=k\), tức là ta có:
 \(1^2+2^2+3^2+...+k^2=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)
Ta chứng minh (3) đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh:
\(1^2+2^2+3^2+...+(k+1)^2=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
Thật vậy, ta có:
\(1^2+2^2+3^2+...+(k+1)^2=1^2+2^2+3^2+...+k^2+(k+1)^2\\=\dfrac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2\\ \\=\dfrac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6}\\ =\dfrac{(k+1)(2k^2+k+6k+6)}{6}\\=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\)
Vậy (3) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (3) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)
Bài giảng Toán lớp 11
Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học khác • Giải bài 1 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng... • Giải bài 2 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng... • Giải bài 3 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh với mọi số... • Giải bài 4 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Cho... • Giải bài 5 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11 Chứng minh rằng số...
Mục lục Giải bài tập SGK Toán 11 theo chương •Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác - Đại số và Giải tích 11 •Chương 1: Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng - Hình học 11 •Chương 2: Tổ hợp và xác suất - Đại số và Giải tích 11 •Chương 2: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song - Hình học 11 •Chương 3: Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân - Đại số và Giải tích 11 •Chương 3: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian - Hình học 11 •Chương 4: Giới hạn - Đại số và Giải tích 11 •Chương 5: Đạo hàm - Đại số và Giải tích 11
Bài trước Bài sau
+ Mở rộng xem đầy đủ