Giải bài 3 trang 82 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Chứng minh với mọi số tự nhiên \(n \ge 2\) ta có các bất đẳng thức:
a) \(3^n> 3n+1\);
b) \(2^{n+1}>2n+3\).
Hướng dẫn:Các bước chứng minh một mệnh đề toán học liên quan đến số tự nhiên \(n\in \mathbb N^*\) là đúng với mọi n ta làm như sau:Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.
a) \(3^n> 3n+1\) (1)
Với \(n =2\), ta có: \(3^2> 3.2+1\) (đúng). Vậy (1) đúng với \(n=2.\)
Giả sử (1) đúng với \(n=k>2\), tức là: \(3^k>3k+1\)
Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\), tức là ta chứng minh:
\(3^{k+1}>3(k+1)+1\)
Thật vậy, ta có:
\(3^{k+1}=3.3^k>3(3k+1)=9k+3>3k+4 =3(k+1)+1 \)
(luôn đúng với mọi \(k\ge 2\))
Vậy (1) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (1) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\).
b) \(2^{n+1}>2n+3\) (2)
Với \(n=2\) ta có: \( 2^3>2.2+3\) (đúng). Vậy (2) đúng với \(n=2\).
Giả sử (2) đúng với \( n=k>2\) tức là: \(2^{k}>2.k+3\)
Ta chứng minh (2) đúng với \(n=k+1\), thật vậy ta có:
\( 2^{k+1}=2.2^k>2(2k+3)=4k+6>2k+5=2(k+1)+3 \)
(luôn đúng với \(k\ge 2\))
Vậy (2) đúng với mọi \(n=k+1\) nên (2) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\).
