Giải bài 4 trang 83 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11

Hướng dẫn:

a) Thay n =1, 2, 3 vào công thức rồi tính.

b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo các bước:

Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=1.

 

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với n=k (k là số tự nhiên bất kỳ)

 

Bước 3: Chứng minh mệnh đề đúng với n=k+1.

a) Ta có:

 \({{S}_{1}}=\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\)

\({{S}_{2}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}=\dfrac{2}{3}\)

\({{S}_{3}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}=\dfrac{3}{4}\)

b) Dự đoán: \(S_n=\dfrac{n}{n+1}\)(*)

Chứng minh (*) bằng phương pháp quy nạp với \(n\in \mathbb N^*\)

Với \(n=1\) ta có: \({{S}_{1}}=\dfrac{1}{1.2}=\dfrac{1}{2}\)(đúng). Vậy (*) đúng với \(n=1\).

Giả sử (*) đúng với \(n=k\), tức là \({{S}_{k}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{k.(k+1)}=\dfrac{k}{k+1} \)

Ta chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh: 

\({{S}_{k+1}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{(k+1).(k+2)}=\dfrac{k+1}{k+2} \)

Thật vậy, ta có:

\({{S}_{k+1}}=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+\dfrac{1}{3.4}+...+\dfrac{1}{k(k+1)}+\dfrac{1}{(k+1).(k+2)}=\dfrac{k}{k+1}+\dfrac{1}{(k+1)(k+2)}\\=\dfrac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2}\\=\dfrac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} \\=\dfrac{(k+1)^2}{(k+1)(k+2)}\\=\dfrac{k+1}{k+2} \)

Vậy (*) đúng với \(n=k+1\) nên (*) đúng với mọi \(n\in \mathbb N^*\)