Giải bài 10 trang 114 – SGK môn Hình học lớp 11

Hướng dẫn:

a) Chứng minh \(SO\bot (ABCD)\). Áp dụng định lí Pytago để tính độ dài SO.

b) Để chứng minh hai mặt phẳng vuông góc ta chứng minh mặt phẳng này chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

c) Chứng minh SOC là tam giác vuông cân.

a) Tứ giác ABCD là hình vuông có cạnh a, O là tâm nên:

\( AC=a\sqrt{2}\Rightarrow AO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \)

Vì \(SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot AC \)

Xét tam giác SOA vuông tại O, áp dụng định lý Pytago ta có:

\(\begin{align} & S{{O}^{2}}=S{{A}^{2}}-A{{O}^{2}} \\ & \Rightarrow S{{O}^{2}}={{a}^{2}}-\dfrac{{{a}^{2}}}{2}=\dfrac{{{a}^{2}}}{2} \\ & \Rightarrow SO=\dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\ \end{align} \)

b) Vì \(SO\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SO\bot BD\) 

Lại có \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD\bot AC \)

Do đó, \(BD\bot \left( SAC \right) \)

Mà \(BD\subset \left( MBD \right)\Rightarrow \left( MBD \right)\bot \left( SAC \right) \)

c) Trong tam giác SAC, có: 

\(\left\{ \begin{align} & SM=MC \\ & OA=OC \\ \end{align} \right. \)

Suy ra OM là đường trung bình của tam giác SAC

Do đó \( OM=\dfrac{a}{2} \)

Ta có: \(\left( MBD \right)\cap \left( ABCD \right)=BD \)

Vì \(BD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow BD\bot MO \)

Lại có \(OC\bot BD \)

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) là góc giữa hai đường thẳng MO và AC.

Hay \(\left( \left( MBD \right),\left( ABCD \right) \right)=\widehat{MOC} \)

Xét tam giác SOC có: \(SO=OC=\dfrac{a\sqrt{2}}{2};\,\widehat{SOC}={{90}^{o}} \)

Nên tam giác SOC vuông cân tại O.

Lại có M là trung điểm của SC suy ra OM đồng thời là phân giác của \(\widehat{SOC} \)

Suy ra \(\widehat{MOC}={{45}^{o}} \)