Giải bài 10 trang 54 – SGK môn Hình học lớp 11
Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là một điểm thuộc miền trong của tam giác SCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mặt phẳng (SBM).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mặt phẳng (SAC).
d) Tìm giao điểm P của SC và mặt phẳng (ABM), từ đó suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (SCD) và (ABM).
a)
Trong mặt phẳng (SDC), gọi N là giao điểm của SM và DC.
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & N\in SM\subset \left( SBM \right) \\ & N\in CD \\ \end{align} \right.\Rightarrow N=\left( SBM \right)\cap CD \)
b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC) là giao tuyến của hai mặt phẳng (SBN) và (SAC)
Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BN
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & O\in AC \\ & O\in BN \\ \end{align} \right.\Rightarrow O\in \left( SAC \right)\cap \left( SBN \right) \)
Ta cũng có S là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng (SAC) và (SBN)
Do đó, SO là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBN)
c) Ta có: \(SO \subset (SBN); BM \subset (SBN)\)
Gọi I là giao điểm của SO và BM
Mà \(SO \subset (SAC)\) nên I thuộc (SAC)
Do vậy I là giao điểm của BM và (SAC)
d) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi R là giao điểm của AB và DC.
Vì \(R\in AB\Rightarrow R\in \left( ABM \right);\,R\in DC\Rightarrow R\in \left( SDC \right) \)
Ta có: \( \left\{ \begin{align} & M\in \left( SDC \right) \\ & R\in \left( SDC \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow MR\cap SC=P\\\)
Do vậy: \( P\in MR\subset \left( ABM \right)\Leftrightarrow P=SC\cap \left( ABM \right)\)
Gọi Q là giao điểm của PM và SD trong mặt phẳng (SDC)
Khi đó, ta có: PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (ABM)
Ghi nhớ:
- Để tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Ta xác định đường thẳng trong mặt phẳng đồng phẳng với đường thẳng rồi tìm giao điểm.
- Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Ta xác định hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng.
