Giải bài 2 trang 156 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Tính \(\Delta y\) và \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) của các hàm số sau theo \(x\) và \(\Delta x\):
| a) \(y=2x-5\) | b) \(y=x^2-1\) |
| c) \(y=2x^3\) | d) \(y=\dfrac{1}{x}\) |
Hướng dẫn:
Đại lượng \(\Delta y\) được gọi là số gia của hàm số \(y=f(x)\) được tính bởi công thức: \(\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\)
Với \(\Delta x=x-x_0\) được gọi là số gia của đối số tại \(x_0\)
a)
\(\begin{align} & \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)=2(x+\Delta x)-5-(2x-5)=2\Delta x \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{2\Delta x}{\Delta x}=2 \\ \end{align} \)
b)
\(\begin{align} & \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x)={{(x+\Delta x)}^{2}}-1-\left( {{x}^{2}}-1 \right) \\ & ={{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2x.\Delta x=\Delta x\left( \Delta x+2x \right) \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\Delta x+2x \\ \end{align} \)
c)
\(\begin{align} & \Delta y=f(x+\Delta x)-f\left( x \right)=2{{\left( x+\Delta x \right)}^{3}}-{{x}^{3}} \\ & =6{{x}^{2}}.\Delta x+6x.{{\left( \Delta x \right)}^{2}}+2{{\left( \Delta x \right)}^{3}} \\ & =2\Delta x\left[ 3{{x}^{2}}+3x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right] \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y }{\Delta x } =2\left[ 3{{x}^{2}}+3x.\Delta x+{{\left( \Delta x \right)}^{2}} \right] \\ \end{align} \)
d)
\(\begin{align} & \Delta y=f\left( x+\Delta x \right)-f\left( x \right)=\dfrac{1}{x+\Delta x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{-\Delta x}{x\left( x+\Delta x \right)} \\ & \Rightarrow \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{-1}{x\left( x+\Delta x \right)} \\ \end{align} \)
