Giải bài 8 trang 41 – SGK môn Đại số và Giải tích lớp 11
Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\sin x+\sin 2x=\cos x+2\cos^2x\) là:
| A) \(\dfrac{\pi}{6}\); | B) \(\dfrac{2\pi}{3}\); | C) \(\dfrac{\pi}{4}\); | D)\(\dfrac{\pi}{3}\). |
Hướng dẫn:
- Giải phương trình.
- Xác định nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình trên khoảng đã cho.
Ta có:
\(\begin{aligned} & \sin x+\sin 2x=\cos x+2{{\cos }^{2}}x \\ & \Leftrightarrow \sin x(1+2\cos x)-\cos x(1+2\cos x)=0 \\ & \Leftrightarrow (\sin x-\cos x)(1+2\cos x)=0 \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x=\cos x \\ & 1+2\cos x=0 \\ \end{aligned} \right.\\&\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \tan x=1 \\ & \cos x=\dfrac{-1}{2} \\ \end{aligned} \right. \\ & \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \\ & x=\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ & x=-\dfrac{2\pi }{3}+k2\pi \\ \end{aligned} \right.\,\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right) \\ \end{aligned} \)
Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là \(x=\dfrac{\pi}{4}\).
Chọn đáp án là C
