Giải bài 106 - 108 trang 133 SGK giải tích nâng cao 12
106. Đối với hàm số \(f\left( x \right)={{e}^{\cos 2x}} \), ta có
(A) \(f'\left( \dfrac{\pi }{6} \right)={{e}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\); (B) \(f'\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=-{{e}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}}\);
(C) \(f'\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=\sqrt{3e}\); (D) \(f'\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=-\sqrt{3e}\).
107. Đối với hàm số \(y=\ln \dfrac{1}{x+1}\), ta có
(A) \(xy'+1={{e}^{y}}\); (B) \(xy'+1=-{{e}^{y}}\);
(C) \(xy'-1={{e}^{y}}\); (D) \(xy'-1=-{{e}^{y}}\)
108. Trên hình 2.13, đồ thị của ba hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}\) và \(y={{c}^{x}}\) (a, b và c là ba số dương khác 1 cho trước) được vẽ trong cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào độ thị và các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số a, b và c.
(A) \(a>b>c\); (B) \(a>c>b\); (C) \(c>b>a;\) (D) \(b>c>a\)
106. \(f\left( x \right)={{e}^{\cos 2x}} \)
Ta có:
\(f'\left( x \right)=\left( \cos 2x \right)'.{{e}^{\cos 2x}}=-2\sin 2x.{{e}^{\cos 2x}} \\ f'\left( \dfrac{\pi }{6} \right)=-2\sin \left( \dfrac{\pi }{3} \right).{{e}^{\cos \left( \frac{\pi }{3} \right)}}=-\sqrt{3}.{{e}^{\frac{1}{2}}}=-\sqrt{3e} \)
Chọn (D)
107. \(y=\ln \dfrac{1}{x+1}\)
\(y'=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x+1}}.\left( \dfrac{1}{x+1} \right)'=\left( x+1 \right).\dfrac{-1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}=-\dfrac{1}{x+1} \\ xy'+1=1-\dfrac{x}{x+1}=\dfrac{1}{x+1} \\ {{e}^{y}}={{e}^{\ln \dfrac{1}{x+1}}}=\dfrac{1}{x+1} \\ \Leftrightarrow xy'+1={{e}^{y}} \)
Chọn (A)
108. Do hàm số \(y=a^x\) đồng biến nên a > b và a > c.
Do \(y=b^x,y=c^x\) nghịch biến nên b, c < 1.
Với x < 0 ta có \(b^x>c^x\Rightarrow b< c\)
Suy ra a > c > b.
Chọn (B)