Giải bài 27 trang 167 SGK giải tích nâng cao 12
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a) Đồ thị hàm số \(y={{\cos }^{2}}x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x=\pi\);
b) Đồ thị hai hàm số \(y=\sqrt{x}\) và \(y=\sqrt[3]{x}\);
c) Đồ thị hai hàm số \(y=2{{x}^{2}}\) và \(y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}\) trong miền \(x\ge 0\);
a) Diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S=\int\limits_{0}^{\pi }{{{\cos }^{2}}xdx}=\int\limits_{0}^{\pi }{\dfrac{1+\cos 2x}{2}dx}=\left( \dfrac{x}{2}+\dfrac{\sin 2x}{4} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} \pi \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right.=\dfrac{\pi }{2} \) (đvdt)
b) Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình
\(\sqrt{x}=\sqrt[3]{x}\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ge 0 \\ & {{x}^{3}}={{x}^{2}} \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=0 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right. \)
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(S=\int\limits_{0}^{1}{\left| \sqrt{x}-\sqrt[3]{x} \right|dx}\\=\int\limits_{0}^{1}{\left( \sqrt[3]{x}-\sqrt{x} \right)dx}\\=\left( \dfrac{3}{4}{{x}^{\frac{4}{3}}}-\dfrac{2}{3}{{x}^{\frac{3}{2}}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right.\\=\dfrac{3}{4}-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{12} \text{(đvdt)} \)
c) Trong miền \(x\ge 0\) hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình
\(2{{x}^{2}}=x^4-2{{x}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}(x^2-4)=0\Leftrightarrow \left[\begin{align} &x=0\\&x=2\end{align}\right.\)
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(S=\int\limits_{0}^{2}{\left| 2{{x}^{2}}-\left(x^ 4-2{{x}^{2}} \right) \right|dx} \\ =\int\limits_{0}^{2}{\left( 4x^2-{{x}^{4}} \right)dx}= \left( \dfrac{4}{3}{{x}^{3}}-\dfrac{1}{5}{{x}^{5}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\\\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\\\\\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ =\dfrac{32}{3}-\dfrac{32}{5}=\dfrac{64}{15} \text{(đvdt)} \)