Giải bài 28 trang 167 SGK giải tích nâng cao 12
Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số \(y={{x}^{2}}-4,y=-{{x}^{2}}-2x\) và hai đường thẳng \(x=-3,x=-2\);
b) Đồ thị hai hàm số \(y={{x}^{2}}-4\) và \(y=-{{x}^{2}}-2x \);
c) Đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}-4x\), trục hoành, đường thẳng \(x=-2\) và đường thẳng \(x=4\).
a) Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{aligned} S&=\int\limits_{-3}^{-2}{\left| \left( {{x}^{2}}-4 \right)-\left( -{{x}^{2}}-2x \right) \right|dx} \\ & =\int\limits_{-3}^{-2}{\left( 2{{x}^{2}}+2x-4 \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{2}{3}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-4x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ -3 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} -2 \\\\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =-\dfrac{16}{3}+4+8+\dfrac{54}{3}-9-12 \\ & =\dfrac{11}{3}\,\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)
b) Hoành độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của phương trình
\({{x}^{2}}-4=-{{x}^{2}}-2x\Leftrightarrow {{x}^{2}}+x-2=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x=1 \\ & x=-2 \\ \end{aligned} \right. \)
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{aligned} S &=\int\limits_{-2}^{1}{\left| \left( {{x}^{2}}-4 \right)-\left( -{{x}^{2}}-2x \right) \right|dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{1}{\left( -2{{x}^{2}}-2x+4 \right)dx} \\ & =\left( -\dfrac{2}{3}{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+4x \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ -2 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =-\dfrac{2}{3}-1+4-\dfrac{16}{3}+4+8 \\ & =9 \,\text{(đvdt)}\\ \end{aligned} \)
c) Hoành độ giao điểm của đường cong và trục hoành là nghiệm của phương trình
\({{x}^{3}}-4x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=\pm 2 \\ \end{align} \right. \)
Diện tích hình phẳng cần tìm là
\(\begin{aligned} & S=\int\limits_{-2}^{4}{\left| {{x}^{3}}-4x \right|dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{0}{\left( {{x}^{3}}-4x \right)dx}+\int\limits_{0}^{2}{\left( 4x-{{x}^{3}} \right)dx}+\int\limits_{2}^{4}{\left( {{x}^{3}}-4x \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ -2 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 0 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right.+\left( 2{{x}^{2}}-\dfrac{1}{4}{{x}^{4}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 0 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right.+\left( \dfrac{1}{4}{{x}^{4}}-2{{x}^{2}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ \\\\ 2 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 4 \\ \\\\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =-4+8+8-4+64-32-4+8 \\ & =44\,\text{(đvdt)} \\ \end{aligned} \)