Giải bài 37 trang 208 SGK giải tích nâng cao 12

\(\begin{aligned} a)\,{{\left( 2-3i \right)}^{3}}&={{2}^{3}}-{{3.2}^{2}}.3i+3.2.{{\left( 3i \right)}^{2}}-{{\left( 3i \right)}^{3}} \\ & =8-36i-54+27i \\ & =-46-9i \\ \end{aligned} \)

Suy ra số phức có phần thực là \(-46\), phần ảo là \(-9\).

\(b)\,\dfrac{3+2i}{1-i}=\dfrac{\left( 3+2i \right)\left( 1+i \right)}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{2}i \\ \,\,\,\,\, \dfrac{1-i}{3-2i}=\dfrac{\left( 1-i \right)\left( 3+2i \right)}{13}=\dfrac{5}{13}-\dfrac{1}{13}i \)

\(\begin{aligned} \Rightarrow \dfrac{3+2i}{1-i}+\dfrac{1-i}{3-2i}&=\left( \dfrac{1}{2}+\dfrac{5}{13} \right)+\left( \dfrac{5}{2}-\dfrac{1}{13} \right)i \\ & =\dfrac{23}{26}+\dfrac{63}{26}i \\ \end{aligned} \)

Suy ra số phức có phần thực là \(\dfrac{23}{26}\), phần ảo là \(\dfrac{63}{26}\).

\(\begin{aligned} c)\, {{\left( x+iy \right)}^{2}}-2\left( x+iy \right)+5\,&={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi-2x-2iy+5 \\ & =\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x+5 \right)+2i\left( xy-y \right) \\ \end{aligned} \)

Suy ra số phức có phần thực là \({{x}^{2}}-{{y}^{2}}-2x+5\), phần ảo là \(2(xy-y)\).

Để số phức là số thực thì phần ảo bằng 0, tức là

\(xy-y=0 \\ \Leftrightarrow y\left( x-1 \right)=0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & y=0 \\ & x=1 \\ \end{aligned} \right. \)

Ghi nhớ: 

Số phức \(z=a+bi\) có phần thực là a và phần ảo là b.