Giải bài 42 trang 209 SGK giải tích nâng cao 12
a) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức \(2+i\) và \(3+i\). Hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a=\dfrac{1}{2},\tan b=\dfrac{1}{3}\) với \(a,b\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\) thì \(a+b=\dfrac{\pi }{4} \).
b) Bằng cách biểu diễn hình học các số phức \(2+i,5+i\) và \(8+i\). Hãy chứng minh rằng nếu \(\tan a=\dfrac{1}{2},\tan b=\dfrac{1}{5},tan\,c=\dfrac{1}{8}\) với \(a,b,c\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\) thì \(a+b+c=\dfrac{\pi }{4} \).
a) Biểu diễn các số phức \(2+i\) và \(3+i\) trên mặt phẳng tọa độ ta được:
Ta có:
\(\tan \left( Ox,OM \right)=\dfrac{1}{2}=\tan a \\ \tan \left( Ox,ON \right)=\dfrac{1}{3}=\tan b \)
Do \(a,b\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\) và M, N nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy
Nên một acgument của \(2+i\) là a và một acgumen của \(3+i\) là b.
Mặt khác \(\left( 2+i \right)\left( 3+i \right)=5+5i\) có một acgumen là \(\dfrac{\pi }{4}\).
Mà acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức đó (sai khác \(k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\)).
Nên từ \(a,b\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\) suy ra \(a+b=\dfrac{\pi }{4} \).
b) Biểu diễn các số phức \(2+i,5+i\) và \(8+i\) trên mặt phẳng tọa độ ta được:
Ta có:
\(\tan \left( Ox,OM \right)=\dfrac{1}{2}=\tan a \\ \tan \left( Ox,ON \right)=\dfrac{1}{3}=\tan b \\\tan \left( Ox,OP \right)=\dfrac{1}{8}=\tan c\)
Do \(a,b, c\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\) và M, N, P nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy
Nên một acgument của \(2+i\) là a, một acgumen của \(5+i\) là b và một acgumen của \(8+i\) là c.
Mặt khác \(\left( 2+i \right)\left( 5+i \right)\left( 8+i \right)=65\left( 1+i \right) \) có một acgumen là \(\dfrac{\pi }{4}\).
Mà acgumen của tích các số phức bằng tổng các acgumen của các số phức đó (sai khác \(k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\)).
Nên từ \(a,b,c\in \left( 0;\dfrac{\pi }{2} \right)\) suy ra \(a+b+c=\dfrac{\pi }{4} \).
Ghi nhớ:
Nếu \(z=r\left( \cos \varphi +i\sin \varphi \right) \\ z'=r'\left( \cos \varphi '+i\sin \varphi ' \right)\,\left( r\ge 0,r'\ge 0 \right) \)
thì \(zz'=rr'\left[ \cos \left( \varphi +\varphi ' \right)+i\sin \left( \varphi +\varphi ' \right) \right] \\ \dfrac{z}{z'}=\dfrac{r}{r'}\left[ \cos \left( \varphi -\varphi ' \right)+i\sin \left( \varphi -\varphi ' \right) \right] \)