Giải bài 60 trang 117 SGK giải tích nâng cao 12
a) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y={{a}^{x}}\) và \(y={{\left( \dfrac{1}{a} \right)}^{x}}\) đối xứng với nhau qua trục tung (h 2.2 với a = 2)
b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số \(y=\log_ax\) và \(y=\log_{ \frac{1}{a}}{x}\) đối xứng với nhau qua trục hoành (h 2.4 với a = 2)
a) Gọi \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y={{a}^{x}}\) và \(y={{\left( \dfrac{1}{a} \right)}^{x}}\).
Lấy \(M\left( {{x}_{o}};{{y}_{o}}\right)\) là điểm bất kì nằm trên \(\left( {{C}_{1}} \right)\).
Khi đó điểm đối xứng với M qua trục tung là \(M'\left( -{{x}_{o}};{{y}_{o}} \right)\).
Ta có \(M\in \left( {{C}_{1}} \right) \) \(\Leftrightarrow {{y}_{o}}={{a}^{{{x}_{o}}}}\Leftrightarrow {{y}_{o}}={{\left( \dfrac{1}{a} \right)}^{-{{x}_{o}}}}\Leftrightarrow M'\in \left( {{C}_{2}} \right)\).
Suy ra \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Gọi \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) lần lượt là đồ thị của các hàm số \(y=\log_ax\) và \(y=\log_{ \frac{1}{a}}{x}\).
Lấy \(M\left( {{x}_{o}};{{y}_{o}}\right)\) là điểm bất kì nằm trên \(\left( {{C}_{1}} \right)\).
Khi đó điểm đối xứng với M qua trục hoành là \(M'\left( {{x}_{o}};-{{y}_{o}} \right)\).
Ta có \(M\in \left( {{C}_{1}} \right) \) \(\Leftrightarrow {{y}_{o}}={{\log }_{a}}{{x}_{o}}\Leftrightarrow {{y}_{o}}=-{{\log }_{\dfrac{1}{a}}}{{x}_{o}}\Leftrightarrow -{{y}_{o}}={{\log }_{a}}{{x}_{o}}\Leftrightarrow M'\in \left( {{C}_{2}} \right)\).
Suy ra \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) đối xứng với nhau qua trục hoành.