Giải bài 71 trang 125 SGK giải tích nâng cao 12

Hướng dẫn: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bài toán:

Cho \(f(x)=g(x)\). Nếu \(f(x)\) đồng biến trên tập xác định K và \(g(x)\) nghịch biến trên K (hoặc ngược lại) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

a) \({{2}^{x}}=3-x\);     

Xét \(f\left( x \right)={{2}^{x}}\)

Ta có \(f'\left( x \right)={{2}^{x}}.\ln 2>0\)   

Suy ra f(x) đồng biến trên \(\mathbb R\).

Xét \(g\left( x \right)=3-x \)

Ta có \(g'\left( x \right)=-1<0\)

Suy ra g(x) nghịch biến trên \(\mathbb R\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Mà \(f\left( 1 \right)=g\left( 1 \right)\)

\(\Rightarrow x=1\) là nghiệm duy nhất của phương trình.                      

b) \({{\log }_{2}}x=3-x\).

Điều kiện: x > 0.

Xét \(f\left( x \right)={{\log }_{2}}x \)

Ta có \(f'\left( x \right)=\dfrac{1}{x.\ln 2}>0\)   

Suy ra f(x) đồng biến trên \((0;+\infty)\).

Xét \(g\left( x \right)=3-x \)

Ta có \(g'\left( x \right)=-1<0\)

Suy ra g(x) nghịch biến trên \((0;+\infty)\).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Mà \(f\left( 2 \right)=g\left( 2 \right)\)

\(\Rightarrow x=2\) là nghiệm duy nhất của phương trình.