Giải bài 1 trang 23 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số:
trên các đoạn \([-4; 4]\) và \([0; 5]\);
trên các đoạn \([0; 3]\) và \([2; 5]\);
trên các đoạn \([2; 4]\) và \([-3; -2]\);
trên các đoạn \([-1; 1] \).
Hướng dẫn: Quy tắc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn:
1. Tìm các điểm \(x_1,x_2,...,x_n\) trên khoảng (a; b) tại đó \(f'(x)\) bằng 0 hoặc không xác định.
2. Tính \(f(a),f(x_1),f(x_2),...,f(x_n),f(b)\).
3. Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Ta có
\(\max\limits_{x\in \left[ a;b \right]}\,f(x)=M;\,\min\limits_{x\in \left[a;b \right]}\,f(x)=m\)
* Xét \(D=[-4; 4] \) Hàm số liên tục trên \([-4; 4] \).
\(y'=3{{x}^{2}}-6x-9;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\in D \\ & x=-1\in D \\ \end{align} \right. \)
Ta có: \(y(-4)=-41; y(4)=15; y(3)=8; y(-1)=40\)
Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ -4;\,4 \right]}\,y=40;\,\min\limits_{x\in \left[ -4;\,4 \right]}\,y=-41 \)
* Xét \(D=[0; 5]\) Hàm số liên tục trên \([0; 5].\)
\(y'=3{{x}^{2}}-6x-9;\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3\in D \\ & x=-1\notin D \\ \end{align} \right. \)
Ta có: \(y(0)=35; y(5)=40; y(3)=8\)
Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 0;\,5 \right]}\,y=40;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;5 \right]}\,y=8\)
* Xét \(D=[0; 3] \) Hàm số liên tục trên \([0; 3]\).
\(y'=4{{x}^{3}}-6x=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\in D \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\in D \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ \end{align} \right. \)
Ta có:\( y(0)=2; y(3)=56; y\left(\sqrt{\dfrac{3}{2}}\right)=-\dfrac{1}{4}\)
Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 0;\,3 \right]}\,y=56;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;3 \right]}\,y=-\dfrac{1}{4} \)
* Xét \(D=[2; 5]\) Hàm số liên tục trên \([2; 5]\).
\(y'=4{{x}^{3}}-6x=2x\left( 2{{x}^{2}}-3 \right);\,y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0\notin D \\ & x=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ & x=-\sqrt{\dfrac{3}{2}}\notin D \\ \end{align} \right. \)
Ta có: \(y(2)=6; y(5)=552\)
Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 0;\,3 \right]}\,y=6;\,\min\limits_{x\in \left[ 0;3 \right]}\,y=552 \)
c) \(y=\dfrac{2-x}{1-x}\)
* Xét \(D=[2; 4] \) Hàm số liên tục trên \([2; 4]\).
\(y'=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\forall x\ne 1 \)
Ta có: \(y(2)=0; y(4)=23\)
Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ 2;\,4 \right]}\,y=0;\,\min\limits_{x\in \left[ 2;\,4 \right]}\,y=\dfrac{2}{3} \)
* Xét \(D=[-3; -2]\) Hàm số liên tục trên \( [-3; -2]\).
\(y'=\dfrac{1}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}>0;\,\forall x\ne 1 \)
Ta có: \(y(-3)=\dfrac{5}{4}; y(-2)=\dfrac{4}{3}\)
Vậy \(\max\limits_{x\in \left[ -3;\,-2 \right]}\,y=\dfrac{5}{4};\,\min\limits_{x\in \left[ -3;\,-2 \right]}\,y=\dfrac{4}{3} \)
Xét \(D=[-1; 1]\) Hàm số liên tục trên \([-1; 1]\).
\(y'=\dfrac{-2}{\sqrt{5-4x}}<0,\,\forall x\in \left[ -1;\,1 \right] \)
Ta có: \(y(-1)=3; y(1)=1\)
Vậy \(\min\limits_{x\in \left[ -1;\,1 \right]}\,y=1;\,\max\limits_{x\in \left[ -1;\,1 \right]}\,y=3\)