Giải bài 1 trang 43 – SGK môn Giải tích lớp 12
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:
a) \(y=2+3x-{{x}^{3}}\)
b) \(y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\)
c) \(y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x\)
d) \(y=-2{{x}^{3}}+5\)
Hướng dẫn: Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc ba
* Tìm tập xác định
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên: Tính \(y'\) và giải phương trình \(y'=0\). Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
+) Cực trị: Chỉ ra các điểm cực trị của hàm số.
+) Giới hạn tại vô cực: Tính \(\lim\limits_{x\to \pm\infty }\,y\)
+) Lập bảng biến thiên
* Vẽ đồ thị hàm số
a) \(y=2+3x-{{x}^{3}}\)
* Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=3-3{{x}^{2}}=3\left( 1-{{x}^{2}} \right) \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=-1 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số đồng biến trên \((-1;\,1)\)
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \((-\infty;\,-1)\) và \((1;\,+\infty)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=1;\,y_{CĐ}=4\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-1;\,y_{CT}=0\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( \dfrac{2}{{{x}^{3}}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+1 \right) \right]=+\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( \dfrac{2}{{{x}^{3}}}+\dfrac{3}{{{x}^{2}}}+1 \right) \right]=-\infty \)
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
b) \(y={{x}^{3}}+4{{x}^{2}}+4x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=3{{x}^{2}}+8x+4 \\ y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\dfrac{2}{3} \\ & x=-2 \\ \end{align} \right. \)
Hàm số nghịch biến trên \(\left(-2;\,-\dfrac{2}{3}\right)\)
Hàm số đồng biến trên các khoảng \((-\infty;\,-2)\) và \(\left(-\dfrac{2}{3};\,+\infty\right)\)
+) Cực trị
Hàm số đạt cực đại tại \(x=-2;\,y_{CĐ}=0\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x=-\dfrac{2}{3};\,y_{CT}=-\dfrac{32}{27}\).
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right) \right]=-\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{4}{x}+\dfrac{4}{{{x}^{2}}} \right) \right]=+\infty \)
+) Bảng biến thiên
* Đồ thị
c) \(y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}+9x\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=3{{x}^{2}}+2x+9>0,\,\forall x\in \mathbb{R} \)
Hàm số luôn đồng biến trên tập xác định và không có cực trị
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right) \right]= -\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ {{x}^{3}}\left( 1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{{{x}^{2}}} \right) \right]= +\infty \)
+) Bảng biến thiên
d) \(y=-2{{x}^{3}}+5\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\)
* Sự biến thiên
+) Chiều biến thiên
\(y'=-6{{x}^{2}}\le0,\,\forall x\in \mathbb{R}\)
Hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định và không có cực trị
+) Giới hạn tại vô cực
\(\lim\limits_{x\to -\infty }\,y=\lim\limits_{x\to -\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]= +\infty \\ \,\lim\limits_{x\to +\infty }\,y=\lim\limits_{x\to +\infty }\,\left[ -{{x}^{3}}\left( -2+\dfrac{5}{{{x}^{3}}} \right) \right]= -\infty \)
+) Bảng biến thiên
