Giải bài 1 trang 60 – SGK môn Giải tích lớp 12
Tìm tập xác định của các hàm số:
a) \(y={{\left( 1-x \right)}^{-\dfrac{1}{3}}};\)
b) \(y={{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\dfrac{3}{5}}};\)
c) \(y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{-2}};\)
d) \(y={{\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)}^{\sqrt{2}}}\).
a) \(y={{\left( 1-x \right)}^{-\dfrac{1}{3}}};\)
Vì \(-\dfrac{1}{3}\notin \mathbb{Z}\) nên y xác định \(\Leftrightarrow 1-x>0\Leftrightarrow x<1\)
Vậy tập xác định: \(D=\left( -\infty ;\,1 \right)\)
b) \(y={{\left( 2-{{x}^{2}} \right)}^{\dfrac{3}{5}}};\)
Vì \(\dfrac{3}{5}\notin \mathbb{Z}\) nên y xác định \(\Leftrightarrow 2-{{x}^{2}}>0\Leftrightarrow -\sqrt{2}< x< \sqrt{2}\)
Vậy tập xác định: \(D=\left( -\sqrt{2};\,\sqrt{2} \right)\)
c) \(y={{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{-2}};\)
Vì \(-2\in \mathbb{Z}\) nên y xác định \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-1\ne 0\Leftrightarrow x\ne \pm 1\)
Vậy tập xác định: \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;\,1 \right\}\)
d) \(y={{\left( {{x}^{2}}-x-2 \right)}^{\sqrt{2}}}\)
Vì \( \sqrt{2}\notin \mathbb{Z}\) nên y xác định \(\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-2>0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x<-1 \\ & x>2 \\ \end{align} \right. \)
Vậy tập xác định: \(D=\left( -\infty ;\,-1 \right)\cup \left( 2;\,+\infty \right) \)
Chú ý: Tập xác định của hàm số lũy thừa \(y=x^\alpha\) tùy thuộc vào giá trị của \(\alpha\) như sau:
Với \(\alpha\) nguyên dương, tập xác định là \(\mathbb R\).
Với \(\alpha\) nguyên âm, tập xác định là \(\mathbb R\backslash \{0\}\).
Với \(\alpha\) không nguyên, tập xác định là \((0;+\infty)\).