Giải bài 3 trang 121 – SGK môn Giải tích lớp 12
Parabol \(y=\dfrac{x^2}{2}\) chia hình tròn có tâm tại gốc tọa độ, bán kính \(2\sqrt{2}\) thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.
Phương pháp:
Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm của hai đường cong.
Bước 2: Tính diện tích của hình phẳng bằng công thức: \(\begin{aligned} S& =\int\limits_{a}^{b}{\left(f_1(x)-f_2(x)\right)dx} \end{aligned}\)
Phương trình đường tròn tâm O, bán kính \(2\sqrt{2}\) là
\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=8\)
Phương trình tung độ giao điểm của hai đường cong là
\({{y}^{2}}+2y-8=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & y=-4\,\left( \text{loại} \right) \\ & y=2 \\ \end{aligned} \right. \\ y=2\Leftrightarrow x=\pm 2 \)
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol và đường tròn là
\(\begin{aligned} S& =\int\limits_{-2}^{2}{\left( \sqrt{8-{{x}^{2}}}-\dfrac{{{x}^{2}}}{2} \right)dx} \\ & =\int\limits_{-2}^{2}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}dx}-\dfrac{{{x}^{3}}}{6}\left| _{\begin{smallmatrix} \\ -2 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 2 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =I-\dfrac{8}{3} \end{aligned}\)
Đặt \(x=2\sqrt{2}\sin t\Rightarrow dx=2\sqrt{2}\cos tdt \)
Đổi cận
| x | \( -2\) | 2 |
| t | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) |