Giải bài 5 trang 68 – SGK môn Hình học lớp 12
Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây.
a) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x-2y+1=0\);
b) \(3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x+8y+15z-3=0\).
Hướng dẫn: Đường tròn tâm \(I\left( a,b,c \right) \) bán kính R có dạng
\(x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0\)
Trong đó \(R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}\) . Điều kiện tồn tại đường tròn là \(a^2+b^2+c^2-d>0\)
Gọi \(I\left( a,b,c \right) \) là tâm của đường tròn bán kính R.
a) Ta có
\(\left\{ \begin{aligned} & 2a=8 \\ & 2b=2 \\ & 2c=0 \\ & R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-1} \\ \end{aligned} \right.\\\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=4 \\ & b=1 \\ & c=0 \\ & R=4 \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow I\left( 4;1;0 \right),R=4 \)
b)
\(3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}+3{{z}^{2}}-6x+8y+15z-3=0 \\ \Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+\dfrac{8}{3}y+5z-1=0 \)
Ta có
\(\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & 2a=2 \\ & 2b=-\dfrac{8}{3} \\ & 2c=-5 \\ & R=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+1} \\ \end{aligned} \right. \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & a=1 \\ & b=-\dfrac{4}{3} \\ & c=-\dfrac{5}{2} \\ & R=\sqrt{1+\dfrac{16}{9}+\dfrac{25}{4}+1}=\dfrac{19}{6} \\ \end{aligned} \right. \\ \Rightarrow I\left( 1;-\dfrac{4}{3};-\dfrac{5}{2} \right),R=\dfrac{19}{6} \)