Trả lời câu 12 trang 49 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hình chóp \(S.ABC\) có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, \(SA = a, SB = b, SC = c\) và ba cạnh SA, SB, SC đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo nên bởi mặt cầu đó.
Gọi I là trung điểm của AB. Suy ra I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB.
Từ I kẻ trục của đáy cắt đường trung trực của SC tại O.
Ta có O thuộc trục của đáy nên OS = OA = OB.
O thuộc trung trực của SC nên OS = OC.
Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chóp SABC có bán kính OS.
SI là trung tuyến trong tam giác vuông nên \(SI=\dfrac{AB}{2}=\dfrac{\sqrt{SA^2+SB^2}}{2}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\)
SHOI là hình chữ nhật nên \(OI=SH=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{c}{2}\)
Bán kính mặt cầu là \(SO=\sqrt{SI^2+IO^2}=\dfrac{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}{2}\)
Diện tích mặt cầu đó là
\(S=4\pi {{R}^{2}}=4.\pi .\dfrac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{4}=\pi \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right) \)
Thể tích khối cầu đó là
\(V=\dfrac{4\pi {{R}^{3}}}{3}=\dfrac{4\pi \dfrac{\sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{3}}}}{8}}{3}=\dfrac{\pi \sqrt{{{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)}^{3}}}}{6}\)