Trả lời câu 5 trang 49 – SGK môn Hình học lớp 12
Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu (O; r), vẽ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.
Phương pháp:
a) Chứng minh hai tam giác đồng dạng rồi suy ra tỉ số đồng dạng.
b) Biến đổi: \(MA=MH-AH,MB=MH+HA\)
a)
Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M nên xác định mặt phẳng (AB, CD).
Mặt phẳng (AB, CD) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.
Các điểm M, A, B, C, D đồng phẳng.
\(\Delta MAD\sim\Delta MCB\\ \Rightarrow\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{MD}{MB}\\ \Rightarrow MA.MB=MC.MD\)
b)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD. Khi đó \(OI\bot (ABCD)\).
Ta có \(MO^2=MI^2+OI^2,\,AO^2=AI^2+OI^2\)
Kẻ \(IH\bot AB\) suy ra H là trung điểm của AB.
Ta có \(MA=MH-AH,MB=MH+HB=MH+HA\).
\(\begin{align} MA.MB&=MH^2-AH^2\\ &=(MH^2+IH^2)-(AH^2+IH^2)\\ &=MI^2-AI^2\\ &=MO^2-OI^2-AO^2+OI^2\\ &=MO^2-AO^2\\&=d^2-r^2 \end{align}\)