Giải bài 2 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

a) \(y=\dfrac{3x+1}{1-x} \)

b) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x} \)

c) \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20} \)

d) \(y=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}\)

Lời giải:
a) \(y=\dfrac{3x+1}{1-x} \)
Tập xác định: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \).
\(y'=\dfrac{4}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\ne 1\).
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,1 \right),\left( 1;\,+\infty \right) \).
 
b) \(y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x} \)
Tập xác định: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\} \).
\(y=\dfrac{{{x}^{2}}-2x}{1-x}=\dfrac{{{\left( 1-x \right)}^{2}}-1}{1-x}=1-x-\dfrac{1}{1-x} \\\\ y'=-1-\dfrac{1}{{{\left( 1-x \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne 1\)
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,1 \right),\left( 1;\,+\infty \right) \).
c) \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-x-20} \)
Tập xác định: \(D=\left( -\infty ;\,-4 \right]\cup \left[ 5;\,+\infty \right) \).
\(y'=\dfrac{2x-1}{2\sqrt{{{x}^{2}}-x-20}}\\\\ y'=0\Leftrightarrow 2x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\)
Bảng biến thiên
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( 5;\,+\infty \right) \). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\,-4 \right)\)
 
d) \(y=\dfrac{2x}{{{x}^{2}}-9}\)
Tập xác định: \( D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -3;\,3 \right\} \).
\(y'=\dfrac{2\left( {{x}^{2}}-9 \right)-4{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}=\dfrac{-2\left( {{x}^{2}}+9 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-9 \right)}^{2}}}<0,\,\forall x\ne \pm 3 \).
Bảng biến thiên
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,-3 \right),\,\left( -3;\,3 \right)\,\text{và} \,\left( 3;\,+\infty \right) \).

Ghi nhớ: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
1. Tìm tập xác định
2.Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\,(i=1,2,...,n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đinh.
3. Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số khác • Giải bài 1 trang 9 – SGK môn Giải tích lớp 12 Xét sự đồng biến,... • Giải bài 2 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tìm các khoảng đơn... • Giải bài 3 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12 Chứng minh rằng hàm... • Giải bài 4 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12 Chứng minh rằng hàm... • Giải bài 5 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12 Chứng minh các bất...
Mục lục Giải tích 12 theo chương •Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số •Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng •Chương 4: Số phức
Bài trước Bài sau
+ Mở rộng xem đầy đủ