Giải bài 3 trang 10 – SGK môn Giải tích lớp 12
Chứng minh rằng hàm số \(y=\dfrac{x}{{{x}^{2}}+1}\) đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\,1 \right)\)
Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\).
\(y'=\dfrac{{{x}^{2}}+1-2{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}}=\dfrac{1-{{x}^{2}}}{{{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}};\, y'=0\Leftrightarrow 1-{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\pm 1\)
Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;\,1 \right)\) nghịch biến trên các khoảng \(\left( -\infty ;\,-1 \right)\) và \(\left( 1;\,+\infty \right)\).
Ghi nhớ: Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số
1. Tìm tập xác định
2.Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\,(i=1,2,...,n)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác đinh.
3. Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.