Giải bài 3 trang 113 – SGK môn Hình học lớp 11
Trong mặt phẳng \((α)\) cho tam giác ABC vuông ở B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với \((α)\) tại A. Chứng minh rằng:
a) \(\widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
b) Mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD)
c) \(HK // BC\) với H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC với mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với DB.
Gợi ý:
Xem lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (SGK/ trang 106).
Hướng dẫn:
a) Chứng minh \(DB\bot BC;\,AB\bot BC\) với B thuộc giao tuyến BC của hai mặt phẳng (BDC) và (ABC)
b) Sử dụng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc: Có \(BC\bot (ABD)\)
c) Chứng minh \( HK\bot DB\) trong mặt phẳng (DBC)
a) Ta có: \(BC=(ABC)\cap (DBC)\)
Vì \(AD\bot \left( ABC \right)\Rightarrow AD\bot BC \)
Mà \(BC\bot AB\)
Nên \(BC\bot \left( ABD \right)\Rightarrow BC\bot DB \)
Vậy ta có: \(\left\{ \begin{align} & AB\bot BC \\ & BD\bot BC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \widehat{ABD}\) là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC)
b) Vì \(BC\bot \left( ABD \right)\) nên \( \left( DBC \right)\bot \left( ABD \right) \)
c) Theo đề bài ta có: \(DB\bot \left( AHK \right)\Rightarrow DB\bot HK\)
Trong mặt phẳng (BCD) ta có: \(HK\bot BD\) và \(BC\bot BD\) do đó \(HK//BC\)