Giải bài 3 trang 68 – SGK môn Hình học lớp 12
Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' biết \(A=\left( 1;0;1 \right),B=\left( 2;1;2 \right),D=\left( 1;-1;1 \right),C'=\left( 4;5;-5 \right)\). Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Hướng dẫn:
Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\) và \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}\).
Gọi \(C\left( {{x}_{C}};{{y}_{C}};{{z}_{C}} \right)\), ta có:
\(\overrightarrow{BC}=\left( {{x}_{C}}-2;{{y}_{C}}-1;{{z}_{C}}-2 \right),\overrightarrow{AD}=\left( 0;-1;0 \right)\)
Do \(\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}\Rightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{C}}-2=0 \\ & {{y}_{C}}-1=-1 \\ & {{z}_{C}}-2=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & {{x}_{C}}=2 \\ & {{y}_{C}}=0 \\ & {{z}_{C}}=2 \\ \end{aligned} \right. \)
Suy ra \(C\left( 2;0;2 \right)\).
\(\Rightarrow \overrightarrow{CC'}=\left( 2;5;-7 \right) \)
Tương tự \(\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{DD'}=\overrightarrow{CC'}\)
Ta tìm được \(A'=\left( 3;5;-6 \right),B'=\left( 4;6;-5 \right),D'=\left( 3;4;-6 \right) \).